Henri Poincaré investigou, no final do século XIX, o comportamento de sistemas gravitacionais compostos por três corpos interagindo mutuamente. Ao analisar o problema de forma qualitativa e global, verificou que a introdução de um terceiro corpo tornava a dinâmica muito mais complexa do que no caso de dois corpos. As órbitas resultantes tendiam a ser irregulares, não periódicas e extremamente sensíveis às condições do sistema. Sua descoberta revelou que, em vez de evoluírem para estados ordenados e estáveis, muitos desses sistemas apresentam comportamentos caóticos e aparentemente aleatórios.
Outro nome importante que deu contribuição à teoria foi Edward Lorenz. Ele utilizou um sistema de três equações diferenciais para modelar o comportamento de sistemas dinâmicos e investigar a origem do caos. As equações são:
dx/dt = 10 (y - x),
dy/dt = 28x - y - xz, (1)
dz/dt = - (8/3) z + xy.
Ele demonstrou que pequenas variações nas condições iniciais podem crescer rapidamente ao longo do tempo, produzindo resultados completamente diferentes, fenômeno conhecido como sensibilidade às condições iniciais. Com base nisso, concluiu que previsões meteorológicas possuem limites intrínsecos de precisão e exigem modelos matemáticos capazes de incorporar a incerteza dos fenômenos naturais.
Por seu turno, o matemático Mitchell Feigenbaum estudou um modelo de um biólogo britânico, Robert May, descrito como:
x_{n+1} = λ x_{n} (1 - x_{n}) , (2)
que exibe aspectos fundamentais de sistemas dinâmicos não lineares, tais como bifurcação, pontos fixos, duplicação de período e caos determinístico.
O mapa da eq. 2 é um modelo de crescimento populacional de uma espécie. Se x_{n} representa a população (normalizada) em uma geração n, então: (i) x_{n} = 0 corresponde à extinção; x_{n} = 1 corresponde à população máxima. Observe-se que x_{n} está relacionado ao crescimento da população e (1 - x_{n}) é um fator que reduz esse crescimento quando a população se aproxima da capacidade máxima oferecida pelo ambiente. O λ é um parâmetro que controla a taxa de crescimento.
Quando uma população na geração seguinte apresenta o mesmo número de uma determinada população, digamos, x_{n + 1} = x_{n} = x', então diz-se que se trata de um estado estacionário. Tal fato implica que a equação 2 terá duas soluções, x' = 0; x' = 1 - 1/λ. O comportamento do sistema dependerá fortemente dos valores assumidos por λ. Vejamos alguns casos particulares;
Regime 0 < λ < 1.
Para qualquer condição inicial o sistema converge para x = 0, ou seja, a população é extinta.
Regime 1 < λ < 3.
Aqui, o ponto x' = 1 - 1/λ torna-se estável. De uma maneira geral (com poucas exceções) a sequência converge para um valor constante. O sistema possui um único estado estacionário.
Figura 1: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 2,520.
λ = 3.
Quando λ = 3, ocorre a primeira bifurcação, o ponto fixo perde estabilidade. Em vez de convergir para um valor único, a sequência passa a oscilar entre dois diferentes valores - surge um ciclo de período 2, o que significa, x1 ➝ x2 ➝ x1 ➝ x2 ➝...
À medida que aumenta, surgem diversos períodos: 2, 4, 8, 16, 32, 64 ....e as bifurcações ocorrem cada vez mais perto umas das outras. Feigenbaum descobriu que se denominamos de λ1, λ2, λ3, ... os valores nos quais surgem bifurcações sucessivas, então, [(λn - λn-1)/ (λn+1 - λn)] tende para uma constante universal, δ ~ 4,69201609, que é a constante de Feigenbaum. Ela é universal porque aparece num grande número de fenômenos.
Figura 2: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 3,403.
λ ~ 3,569946.
Acima deste valor, o comportamento torna-se caótico, mas não aleatório. O sistema continua determinístico, se conhecermos x_0 inicial a resposta futura fica bem definida. Mas se pequenas diferenças nas condições iniciais são introduzidas, o comportamento a longo prazo torna-se imprevisível. Um detalhe adicional é que existem janelas periódicas dentro do caos. Para λ ~ 3,83, surge um período 3 e a partir dele aparece a seguinte cascata: 3 ➝ 6 ➝ 12 ➝ 24 ➝ ....
Figura 3: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 4,000.
Nenhum comentário:
Postar um comentário