Resistividade elétrica de metais

Qual a razão para haver resistência elétrica para os elétrons em um metal? Ou melhor, por que os elétrons de condução não se movimentam livremente num cristal, uma vez que numa rede cristalina periódica perfeita eles se movem livremente sem nenhuma resistência? Há duas razões para isso. A primeira é que nos materiais reais as redes cristalinas apresentam impurezas e imperfeições, e a segunda razão é que os elétrons também podem interagir com os fônons, as vibrações quantizadas da rede.

No que diz respeito à resistividade elétrica dos metais pode-se afirmar que à temperatura ambiente, ela é dominada por colisões de elétrons de condução com fônons, enquanto que à baixas temperaturas, a resistividade elétrica é dominada por colisões com átomos de impurezas e imperfeições. 

Em geral, podemos escrever:

ρ(T) = ρ(0)​+ρ_f​(T),

onde ρ(T) representa a resistividade elétrica do metal em uma temperatura T qualquer; ρ(0) representa a resistividade residual - devido à impurezas, imperfeições, discordância, etc - que independe da temperatura; e ρ_f​(T), que é a resistividade devido aos fônons, que é altamente dependente da temperatura. De fato, ρ_f​(T) → 0 quando T → 0. Assim, em baixas temperaturas,  ρ(T) ~ ρ(0), ou seja, a resistividade elétrica é dominada por impurezas.    

Para ilustrar esta discussão, na Figura 1 apresenta-se a resistência elétrica do potássio abaixo de 20 K [medidas realizadas por D. MacDonald e K. Mendelsson, ver Introdução à Física do Estado Sólido, C. Kittel]. Uma vez que a contribuição dos fônons é desprezível neste regime de baixas temperaturas, a resistência elétrica é devida fundamentalmente a impurezas e a imperfeições do material, de tal forma que a diferença de valores apresentados na figura deve-se exatamente ao fato de que as duas amostras apresentam diferente graus de purezas.

Figura 1: Resistência elétrica do potássio para duas amostras com diferentes graus de pureza (C. Kittel).

Processos umklapp:

Vamos olhar agora especificamente a contribuição dos fônons na resistividade elétrica de um metal. Quando um elétron é espalhado por um fônon, o momento cristalino deve obedecer à seguinte relação:

k′ = k + q + G,

onde k' é o momento do elétron espalhado, k é o momento inicial, q é o vetor de onda do fônon e G é um vetor da rede recíproca. Quando G = 0, o processo de espalhamento ocorre no interior da primeira zona de Brillouin, sendo conhecido como processo normal (N). Verifica-se que o momento dos elétrons mais os fônons são conservados. Esses processos redistribuem momento entre elétrons e fônons, mas não relaxam eficientemente a corrente elétrica.

Nos casos em que G é diferente de 0, temos os processos umklapp, nos quais o momento "cristalino" excede a primeira zona de Brillouin e é transferido para a rede cristalina, dissipando momentum dos elétrons e gerando resistência elétrica. Acontece que para ocorrer um processo umklapp, são necessários fônons com vetores de onda relativamente grandes, próximos da borda da zona de Brillouin. Entretanto, em baixas temperaturas, tanto a população de fônons é muito pequena, quanto os fônons disponíveis têm pequeno valores de q. Como consequência, os processos umklapp tornam-se exponencialmente raros. É por esta razão que a resistividade elétrica devido aos fônons vai a zero quando T→ 0.