Teoria do Caos

Henri Poincaré investigou, no final do século XIX, o comportamento de sistemas gravitacionais compostos por três corpos interagindo mutuamente. Ao analisar o problema de forma qualitativa e global, verificou que a introdução de um terceiro corpo tornava a dinâmica muito mais complexa do que no caso de dois corpos. As órbitas resultantes tendiam a ser irregulares, não periódicas e extremamente sensíveis às condições do sistema. Sua descoberta revelou que, em vez de evoluírem para estados ordenados e estáveis, muitos desses sistemas apresentam comportamentos caóticos e aparentemente aleatórios.  

Outro nome importante que deu contribuição à teoria foi Edward Lorenz. Ele utilizou um sistema de três equações diferenciais para modelar o comportamento de sistemas dinâmicos e investigar a origem do caos. As equações são:

dx/dt = 10 (y - x),

dy/dt = 28x - y - xz,                                       (1)

dz/dt = - (8/3) z + xy.

Ele demonstrou que pequenas variações nas condições iniciais podem crescer rapidamente ao longo do tempo, produzindo resultados completamente diferentes, fenômeno conhecido como sensibilidade às condições iniciais. Com base nisso, concluiu que previsões meteorológicas possuem limites intrínsecos de precisão e exigem modelos matemáticos capazes de incorporar a incerteza dos fenômenos naturais.

Por seu turno, o matemático Mitchell Feigenbaum estudou um modelo de um biólogo britânico, Robert May, descrito como:

x_{n+1} = λ x_{n} (1 - x_{n}) ,                       (2)

que exibe aspectos fundamentais de sistemas dinâmicos não lineares, tais como bifurcação, pontos fixos, duplicação de período e caos determinístico.

O mapa da eq. 2 é um modelo de crescimento populacional de uma espécie. Se x_{n} representa a população (normalizada) em uma geração n, então: (i) x_{n} = 0 corresponde à extinção; x_{n} = 1 corresponde à população máxima. Observe-se que x_{n} está relacionado ao crescimento da população e (1 - x_{n}) é um fator que reduz esse crescimento quando a população se aproxima da capacidade máxima oferecida pelo ambiente. O λ é um parâmetro que controla a taxa de crescimento.

Quando uma população na geração seguinte apresenta o mesmo número de uma determinada população, digamos, x_{n + 1} = x_{n} = x', então diz-se que se trata de um estado estacionário. Tal fato implica que a equação 2 terá duas soluções, x' = 0; x' = 1 - 1/λ. O comportamento do sistema dependerá fortemente dos valores assumidos por λ. Vejamos alguns casos particulares;

Regime 0 < λ < 1.

Para qualquer condição inicial o sistema converge para x = 0, ou seja, a população é extinta. 

Regime 1 < λ < 3.

Aqui, o ponto x' = 1 - 1/λ torna-se estável. De uma maneira geral (com poucas exceções) a sequência converge para um valor constante. O sistema possui um único estado estacionário.

Figura 1: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 2,520.

λ = 3. 

Quando λ = 3, ocorre a primeira bifurcação, o ponto fixo perde estabilidade. Em vez de convergir para um valor único, a sequência passa a oscilar entre dois diferentes valores - surge um ciclo de período 2, o que significa, x1 ➝ x2 ➝ x1 ➝ x2 ➝...

À medida que  aumenta, surgem diversos períodos: 2, 4, 8, 16, 32, 64 ....e as bifurcações ocorrem cada vez mais perto umas das outras. Feigenbaum descobriu que se denominamos de λ1, λ2, λ3, ... os valores nos quais surgem bifurcações sucessivas, então, [(λn - λn-1)/ (λn+1 - λn)] tende para uma constante universal, δ ~ 4,69201609, que é a constante de Feigenbaum. Ela é universal porque aparece num grande número de fenômenos.

Figura 2: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 3,403.

λ ~ 3,569946. 

Acima deste valor, o comportamento torna-se caótico, mas não aleatório. O sistema continua determinístico, se conhecermos x_0 inicial a resposta futura fica bem definida. Mas se pequenas diferenças nas condições iniciais são introduzidas, o comportamento a longo prazo torna-se imprevisível. Um detalhe adicional é que existem janelas periódicas dentro do caos. Para λ ~ 3,83, surge um período 3 e a partir dele aparece a seguinte cascata: 3 ➝ 6 ➝ 12 ➝ 24 ➝ ....

Figura 3: Série temporal do mapa definido pela eq. (2) com x0 = 0,072 e λ = 4,000.

Resistividade elétrica de metais

Qual a razão para haver resistência elétrica para os elétrons em um metal? Ou melhor, por que os elétrons de condução não se movimentam livremente num cristal, uma vez que numa rede cristalina periódica perfeita eles se movem livremente sem nenhuma resistência? Há duas razões para isso. A primeira é que nos materiais reais as redes cristalinas apresentam impurezas e imperfeições, e a segunda razão é que os elétrons também podem interagir com os fônons, as vibrações quantizadas da rede.

No que diz respeito à resistividade elétrica dos metais pode-se afirmar que à temperatura ambiente, ela é dominada por colisões de elétrons de condução com fônons, enquanto que à baixas temperaturas, a resistividade elétrica é dominada por colisões com átomos de impurezas e imperfeições. 

Em geral, podemos escrever:

ρ(T) = ρ(0)​+ρ_f​(T),

onde ρ(T) representa a resistividade elétrica do metal em uma temperatura T qualquer; ρ(0) representa a resistividade residual - devido à impurezas, imperfeições, discordância, etc - que independe da temperatura; e ρ_f​(T), que é a resistividade devido aos fônons, que é altamente dependente da temperatura. De fato, ρ_f​(T) → 0 quando T → 0. Assim, em baixas temperaturas,  ρ(T) ~ ρ(0), ou seja, a resistividade elétrica é dominada por impurezas.    

Para ilustrar esta discussão, na Figura 1 apresenta-se a resistência elétrica do potássio abaixo de 20 K [medidas realizadas por D. MacDonald e K. Mendelsson, ver Introdução à Física do Estado Sólido, C. Kittel]. Uma vez que a contribuição dos fônons é desprezível neste regime de baixas temperaturas, a resistência elétrica é devida fundamentalmente a impurezas e a imperfeições do material, de tal forma que a diferença de valores apresentados na figura deve-se exatamente ao fato de que as duas amostras apresentam diferente graus de purezas.

Figura 1: Resistência elétrica do potássio para duas amostras com diferentes graus de pureza (C. Kittel).

Processos umklapp:

Vamos olhar agora especificamente a contribuição dos fônons na resistividade elétrica de um metal. Quando um elétron é espalhado por um fônon, o momento cristalino deve obedecer à seguinte relação:

k′ = k + q + G,

onde k' é o momento do elétron espalhado, k é o momento inicial, q é o vetor de onda do fônon e G é um vetor da rede recíproca. Quando G = 0, o processo de espalhamento ocorre no interior da primeira zona de Brillouin, sendo conhecido como processo normal (N). Verifica-se que o momento dos elétrons mais os fônons são conservados. Esses processos redistribuem momento entre elétrons e fônons, mas não relaxam eficientemente a corrente elétrica.

Nos casos em que G é diferente de 0, temos os processos umklapp, nos quais o momento "cristalino" excede a primeira zona de Brillouin e é transferido para a rede cristalina, dissipando momentum dos elétrons e gerando resistência elétrica. Acontece que para ocorrer um processo umklapp, são necessários fônons com vetores de onda relativamente grandes, próximos da borda da zona de Brillouin. Entretanto, em baixas temperaturas, tanto a população de fônons é muito pequena, quanto os fônons disponíveis têm pequeno valores de q. Como consequência, os processos umklapp tornam-se exponencialmente raros. É por esta razão que a resistividade elétrica devido aos fônons vai a zero quando T→ 0. 

Terras Raras - Parte 1

As terras raras, também conhecidos como metais de terras raras, constitui-se num conjunto de 17 elementos químicos: Sc, Y, La, Ce, Pr, Nd, Pm, Sm, Eu, Gd, Tb, Dy, Ho, Er, Tm, Yb, Lu. Com exceção do escândio e do ítrio, os outros quinze elementos são do grupo dos lantanídeos. Na verdade nem são terras, nem são tão raros assim. A denominação 'terra' se deve ao fato de que foram descobertos em óxidos que eram chamados genericamente por esse nome. Entre os 17 elementos - que podem ser obtidos dos minerais monazita, loparita, batnasita e xenótimo, entre outros - o menos abundante é o túlio, que mesmo assim, ainda é mais abundante no nosso planeta do que a prata, por exemplo. Entre várias aplicações, pode-se citar o uso em superímãs (de neodímio e praseodímio), com aplicação em motores de carros elétricos, altofalantes de celulares e armas.

Com o objetivo de agregar conhecimento ao campo das terras raras, se não especificamente com os elementos puros, mas pelo menos com alguns destes elementos formando compostos, estudamos recentemente o NaGd(MoO4)2, o Gd2(WO4)3, o Gd2MoO6 e o SrGdFeMnO6. Ou seja, estudamos alguns compostos contendo o gadolínio em sua estrutura. Antes de apresentar alguns aspectos destes trabalhos, vamos falar um pouco sobre o elemento gadolínio.

O gadolínio, que possui número atômico 64, possui várias aplicações. Por exemplo, ele é usado em soluções intravenosas que realçam imagens na técnica de ressonância magnética (na forma do íon Gd3+). Também é utilizado como adicionante em ligas de ferro e cromo, aumentando a resistência a corrosão a altas temperaturas; como material magnetocalórico e em refrigeração magnética.  De fato, um interessante aspecto relacionado ao gadolínio é que, com exceção dos metais Fe, Co, Ni, é o único metal ferromagnético, uma vez que o subnível 4f7, na configuração [Xe]4f75d16s2 do átomo, apresenta um momento magnético alto. Mas é importante também destacar que o ferromagnetismo neste elemento químico só aparece abaixo de 20 ∘C.

Fig. 1: Tabela periódica dos elementos químicos. Em destaque, na cor roxa, os lantanídeos, que juntamente com o Sc e o Y, constituem o que se chama de terras raras.

Vamos agora discutir os quatro artigos citados acima. Entre os promissores molibdatos duplos à base de terras raras (RE), o molibdato de sódio e gadolínio [NaGd(MoO4)2] surgiu como um foco de intensa pesquisa devido às suas atrativas características químicas e físicas, bem como às suas diversas aplicações. Particularmente notáveis são as propriedades fotoluminescentes, pois elas possibilitam uma gama de potenciais aplicações, incluindo optoeletrônica, fósforos para iluminação, displays óticos e marcadores biológicos, como sistemas de liberação de fármacos guiados por imageamento ótico. A maior parte das publicações científicas utiliza o cristal dopado com diversos íons lantanídeos, particularmente em razão dos avanços tecnológicos que esses íons podem proporcionar ao aumentar a eficiência de dispositivos eletrônicos. O foco central dos estudos recentes tem se concentrado na síntese do molibdato de sódio e gadolínio empregando síntese hidrotérmica e o método de reação no estado sólido, visando controlar o tamanho das partículas dos nanocristais com possíveis novas dimensionalidades morfológicas. Modificar a morfologia dos (nano)cristais sintetizados por diferentes rotas pode conduzir a uma emissão fotoluminescente máxima substancial, relacionada a defeitos intrínsecos na superfície e a variações na estrutura cristalina. No estudo da Ref. [1] as amostras foram extensivamente caracterizadas via difração de raios X por pó (PXRD) e espectroscopia Raman. Essa validação não apenas confirmou o sucesso da rota de síntese hidrotérmica, mas também contribuiu para o entendimento atual da natureza polimórfica do material. Adicionalmente, foi identificada, à temperatura ambiente, uma fase monoclínica do tipo fergusonita grupo espacial I2/a até então não reportada. Combinando análises in situ de PXRD dependente da temperatura e espectroscopia Raman, foram obtidas informações cruciais acerca das propriedades estruturais desses microcristais. Em uma ampla faixa de temperatura, em torno de 813 K, a estrutura sofre uma transição para sua fase termodinamicamente mais favorável, caracterizada por uma estrutura tetragonal do tipo scheelita (grupo espacial I41/a). Também foi identificado um fenômeno que ainda não havia sido observado nesse material: a presença de uma fase tetragonal secundária, mascarada pela contribuição tetragonal primária, compartilhando o mesmo grupo espacial, porém com parâmetros de célula unitária ligeiramente modificados.

Compostos da família dos tungstatos de terras raras, por seu turno, apresentam dimorfismo cristalino, cristalizando em uma fase monoclínica (C2/c) estável desde a temperatura ambiente até aproximadamente 1373 K. Em temperaturas mais elevadas, tipicamente acima de 1433 K, estabelece-se uma fase ortorrômbica (Pbcn). O intervalo de 1373 a 1423 K para a transição monoclínica → ortorrômbica depende do elemento de terra rara utilizado. No caso específico do tungstato de gadolínio [Gd2(WO4)3], difração de raios X in situ e análise térmica diferencial indicam que a transição reversível monoclínica → ortorrômbica ocorre em torno de 1433 K. Essa mudança estrutural está diretamente associada a variações no raio iônico e na eletronegatividade dos íons de terras raras ao longo da série dos lantanídeos, fatores que influenciam a distorção dos tetraedros WO4​ e a flexibilidade da rede cristalina. Quando dopada com outros íons trivalentes de terras raras, a matriz de Gadolinium tungstate contendo grupos tetraédricos WO4 apresenta baixa energia de fótons de excitação, alto rendimento quântico e boa estabilidade fotoquímica. Além disso, esse material exibe autoluminescência no espectro visível, com emissões que podem ser decompostas nas regiões vermelha, verde e azul, dependendo do comprimento de onda de excitação e do método de síntese empregado. No artigo da Ref. [2] apresentam-se resultados de PXRD in situ que demonstram que a fase monoclínica permanece estável até aproximadamente 773 K, exibindo apenas expansão térmica anisotrópica, mais pronunciada ao longo dos eixos  b e c do que ao longo do eixo a, sem evidências de transições estruturais irreversíveis. Uma sutil anomalia observada na razão $b/c$ em torno de 523 K indica um leve rearranjo da rede cristalina, o qual foi corroborado por espectroscopia Raman in situ por meio de deslocamentos em frequência, alargamento de bandas e variação na intensidade dos modos associados às unidades [WO4​]2−, além de apresentar histerese térmica local de cerca de 15 K (538–553 K). Esses efeitos foram atribuídos ao aumento da anarmonicidade e a rearranjos locais reversíveis dos poliedros GdO8​.

Entre os molibdatos à base de gadolínio, o molibdato de gadolínio [Gd2MoO6] tem atraído atenção crescente devido às suas propriedades multifuncionais, que vão muito além de sua facilidade de síntese. Estudos recentes demonstraram que ele apresenta luminescência eficiente de conversão descendente (down-conversion) e conversão ascendente (up-conversion), tornando-o adequado para dispositivos óticos avançados e aplicações fotônicas. Sua resposta ótica e o comportamento relacionado à ferroeletricidade também têm sido investigados, destacando seu potencial para aplicações voltadas a dispositivos. Além disso, óxidos contendo gadolínio, incluindo sistemas à base de molibdato de gadolínio, vêm sendo explorados em aplicações biomédicas, como bioimageamento e agentes de contraste, devido às favoráveis características magnéticas e ópticas dos íons Gd3+. Em particular, fósforos de Gd2MoO6 ativados com Eu3+ têm apresentado intensa emissão vermelha sob excitação no ultravioleta próximo e na região azul, demonstrando forte potencial para LEDs e tecnologias de iluminação no estado sólido. Esses resultados consolidam o molibdato de gadolínio como um material funcional versátil, cujas propriedades óticas, eletrônicas e magnéticas são altamente sensíveis à sua estrutura local e a perturbações externas. No trabalho da Ref. [3] realizou-se um estudo das propriedades estruturais e vibracionais do material, sendo identificadas duas transições de fase em faixas de pressão próximas de 3,1−3,3 GPa e 9,5−10 GPa, em concordância com as análises de PCA e HCA. Em particular, a região de estiramento das unidades MoO6​ apresenta o mesmo número de modos vibracionais ao longo de todo o processo e evolui suavemente, sem qualquer salto no número de onda. Além disso, não foi encontrada evidência de amorfização, uma vez que todas as bandas, especialmente aquelas correspondentes aos modos de rede, permanecem estreitas e bem definidas até a mais alta pressão alcançada no experimento. Consequentemente, uma distinção clara entre os dois compostos evidencia a notável estabilidade estrutural do molibdato de gadolínio sob compressão.

Os óxidos de metais de transição têm emergido como candidatos atrativos devido à sua estabilidade química, abundância e amplo potencial para ajuste estrutural e eletrônico. Em particular, óxidos do tipo perovskita simples (ABO3​) com ocupação mista de cátions destacam-se por sua flexibilidade estrutural, a qual possibilita a modulação eficiente de parâmetros estruturais e eletrônicos por meio da substituição catiônica controlada nos sítios A e B. A introdução de cátions de metais de transição, tais como Ni, Co, Fe e Mn, nos sítios B constitui uma estratégia eficaz, pois pode promover sinergia eletrônica, criar novos caminhos de condução e ampliar a diversidade química da superfície catalítica. Além disso, metais de transição como Fe e Mn apresentam múltiplos estados de oxidação, favorecendo processos redox, transferência de carga e modulação da estrutura cristalina, o que, em última instância, aumenta a eficiência eletrocatalítica. Para o sistema Sr0.5​Gd0.5​Fe0.5​Mn0.5O3​, uma perovskita simples sem precedentes com ocupação mista tanto nos sítios A quanto B, a presença de Sr2+ no sítio A contribui para a manutenção da integridade cristalina e da conectividade da rede, ao mesmo tempo em que favorece a condutividade iônica, parcialmente por meio de ajustes nos estados de oxidação do Mn, garantindo, assim, caminhos eletrônicos eficiente. De forma complementar, o Gd3+ induz modificações nos estados de oxidação dos cátions, do sítio B (Fe e Mn), promovendo a formação de vacâncias de oxigênio e distorções da rede cristalina. Devido à desordem catiônica, diferentes ambientes locais de coordenação coexistem aleatoriamente, de modo que os resultados experimentais representam uma média das contribuições microscópicas. Esses efeitos combinados otimizam a exposição de sítios ativos, potencialmente aprimorando o transporte de carga e a eficiência eletrocatalítica em reações como HER e OER, conforme evidenciado em estudos recentes sobre perovskitas multicatiônicas. No artigo da Ref. [4], uma nova perovskita, Sr0.5​Gd0.5​Fe0.5​Mn0.5​O3 (SGFM), foi sintetizada pelo método de reação em estado sólido e confirmada como cristalizando na estrutura ortorrômbica Pnma. Micrografias de MEV revelaram partículas irregulares e aglomeradas, enquanto o mapeamento elementar confirmou a estequiometria esperada. Medidas óticas mostraram forte absorção na região do ultravioleta e um band gap direto de 2,42 eV, atribuído a transições eletrônicas envolvendo íons Gd3+ Fe3+/Fe2+ e Mn2+/Mn3+. A caracterização magnética indicou um comportamento predominantemente paramagnético, com fracas interações ferromagnéticas abaixo de 250 K devido às redes Mn–O–Mn. A análise eletroquímica demonstrou que o SGFM reduz significativamente o sobrepotencial da reação de evolução de hidrogênio (HER) e mantém operação estável em condições alcalinas, destacando seu potencial como catalisador durável e eficiente para aplicações de divisão da água. De modo geral, as propriedades multifuncionais do SGFM evidenciam seu potencial promissor para futuras tecnologias de conversão de energia e motivam investigações adicionais acerca das relações entre composição e propriedades em perovskitas de terras raras. 

Fig. 2: Estrutura cristalina do Sr0.5Gd0.5Fe0.5Mn0.5O3 (Ref. [4]).

[1] M.L.A. Dorneles, C.C. Santos, C. Luz- Lima, W.C. Ferreira, P.T.C. Freire, A.S. de Menezes, J.V.B. Moura, A novel polymorphic phase in NaGd(MoO4)2: synthesis and temperature-induced phase transition, Ceramics International 51, 35582 - 35591 (2025). 

[2] J.S. Silva, A.W. Miranda, I.A.L. Santos, E.C. Serra, J.V.B. Moura, A.S. Menezes, P.T.C. Freire, G.S. Pinheiro, C.L. Lima, In situ investigation of structural stability and reversible conformational changes in Gd₂(WO₄)₃ at high temperatures, Journal of  Molecular Structure 1364, 145948 (2026).

[3] Danilo S. Luz, Luiz F. L. da Silva, Raí F. Juca, Vicente O. Sousa Neto, Antônio J. Ramiro de Castro, Francisco F. de Sousa, Waldeci Paraguassu, Rômulo S. Silva, Lucas S. A. Olivier, José A. Lima Jr., Paulo T. C. Freire, João G. de Oliveira Neto, Gilberto D. Saraiva, Electronic structure, lattice dynamics, and pressure-induced phase transition in Gd₂MoO₆: a combined theoretical and experimental study,  ACS Omega 11 (7), 12199-12213 (2026).

[4] F.D.C. Ribeiro, R.F. Jucá, F.G.S. Oliveira, A.J.R. Castro, J.M. Soares, L. Ghivelder, M.E. Araujo, A. Mello, P.T.C. Freire, G.D. Saraiva, A Novel Perovskite Oxide Sr_0.5Gd_0.5Fe_0.5Mn_0.5O3 as an Electrocatalyst for the Hydrogen Evolution Reaction, Ceramics International 52, 18934 – 18943 (2026).

O modelo de Drude dos metais

Em 1900, o físico alemão Paul Drude (1863 - 1906) publicou um modelo bastante interessante sobre os metais, conhecido atualmente como modelo clássico dos metais. Embor a maior parte dos sólidos seja não-metálicos, aproximadamene 2/3 dos elementos químicos são metálicos, ou seja, materiais com excelente capacidade de condução de calor e de eletricidade.

A ideia de Drude é bastante engenhosa, criada apenas três anos após J.J. Thomson descobrir o elétron. Drude expôs o seu modelo baseado na teoria cinética dos gases, considerando os elétrons como se formassem um gás. No modelo da teoria cinéticas dos gases, as moléculas dos gases são esferas sólidas idênticas que movem-se em linha reta até colidirem com outra. O tempo durante as colisões é desprezível; as forças só atuam nas moléculas durante as colisões.

Drude supôs a existência de elétrons - as partículas carregadas que se movimentavam - e partículas positivas que encontravam-se imóveis por serem pesadas. Supõe-se que os elétrons de valência estejam livres para se movimentar, enquanto os íons metálicos estão imóveis. Esta teoria explica (a) a lei de Ohm e (b) a relação entre condutividade elétrica e condutividade térmica. Por outro lado, alguma caracterísitcas importantes dos metais não podem ser explicadas pelo modelo, como (i) a capacidade térmica, (ii) a susceptibilidade magnética dos elétrons de condução, (iii) o imenso livre caminho médio dos elétrons de condução, (iv) a gigantesca diferença de condutividade elétrica entre isolante e condutor. Na verdade, hoje sabe-se que os sólidos metálicos são transparentes aos elétrons por dois motivos principais: (a) as ondas de matéria se movimentam livremente em uma estrutura periódica, (b) por causa do princípio da exclusão de Pauli, a probabilidade de choque entre os elétrons de condução e bem baixa.

Pode-se estimar que existem da ordem de 10^22 (dez elevado a vigésima segunda potência) elétrons livres por centímetros cúbicos (cm^3) para os metais. De fato:

n = N/V = 6,02.10^23 . [Z.densidade molar/ massa atômica]. 

Isso fornece um valor de 0,91.10^22/cm^3 para o césio, 5,8610^22/cm^3 para a prata e 24,710^22/cm^3  para o berílio. Observe-se que estas densidades são bem maiores do que um gás clássico na condições normais de temperatura e pressão. Mesmo assim, o denso gás de elétrons é tratado como um diluído gás neutro, com apenas algumas modificações, que listamos abaixo [ver livro N. Ashcroft, D. Mermin]: 

1. Entre as colisões, as interações dos elétrons com outros elétrons e com os íons é desprezível. Se o campo elétrico é nulo, os elétrons movem-se em linha reta; se o campo elétrico é diferente de zero, eles seguem as leis de Newton aplicadas aos campos. Quanto a este respeito, pode-se imaginar duas aproximações [elas foram inventadas após a época da apresentação do modelo]. Na aproximação do elétron independente, considera-se desprezível a interação elétron-elétron entre colisões; é uma aproximação boa em algumas situações. Na aproximação do elétron livre, interações elétrons íons são desprezíveis; trata-se de um modelo bastante ruim em quase todas as situações. 

2. As colisões acontecem instantaneamente, mudando abruptamente a velocidade dos elétrons. Tal fato acontece quando eles atingem o núcleo duro; desta maneira, pode-se assumir que existe algum mecanismo de espalhamento.

3. A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um tempo infinitesimal dt é dt/T; T é chamado de tempo de colisão ou tempo de relaxação. Na teoria de Drude, T é independente da posição e da velocidade.

4. Supõe-se que os elétrons atinjam o equilíbrio térmico apenas através de colisões. Após a colisão, a direção da velocidade não tem relação com a direção antes da colisao e o módulo da velocidade relaciona-se com a temperatura no local da colisão.

Condutividade elétrica DC de um metal:

Os metais possuem a capacidade de transmitir eletricidade ou energia elétrica. Embora a descrição quantitativa envolvendo corrente e resistência elétrica seja bem simples, a explicação do fenômeno físico é relativamente sofisticada. Da lei de Ohm sabe-se que V = I.R, onde V é a tensão, I representa a corrente elétrica; R, a resistência elétrica, depende das dimensões do fio, mas independe da corrente e da tensão. O modelo de Drude conseguiu explicar e fornecer uma estimativa do valor da resistência elétrica.

Define-se a resistividade elétrica ρ por uma relação entre o campo elétrico aplicado E e a densidade de corrente j induzida: E = ρ.j. Se uma corrente uniforme I atravessa uma seção reta de área A, então j = I/A. Entretanto, V = E L =  ρ.I.L/A = (ρ.L/A).I; logo, R = (ρ.L/A). Se n elétrons por unidade de volume movem-se com velocidade v, então a densidade de corrente é paralela a v. Num tempo dt, os elétrons se movimentarão de vdt na direção de v. Isso significa que n(vdt).A elétrons cruzarão uma área A perpendicular à direção da corrente. Uma vez que cada elétron tem carga -e, a carga que cruza a área A é -n.e.v.dt.A. Consequentemente, j = [-n.e.v.dt.A/dt]/A = - n.e.v, ou em termos de vetores, j = -n.e.v. Em qualquer ponto os eletrons movimentam-se em todas as direções. Se E = 0, a velocidade média v = 0, o que implica que j = 0. Entretanto, se existe um campo E não nulo, haverá uma velocidade eletrônica média contrária ao campo.

Seja t = 0 o tempo no qual ocorre um choque e v = v0 sua velocidade inicial. Depois de um tempo t, v = v0 - (eEt/m). Uma vez que os elétrons podem partir com qualquer velocidade v0, então <v0> = 0, ou seja, o valor médio de v0 é nulo. Logo: <v> = <-e.E.t/m> = - (e.E/m) < t > =  - (e.E/m)τ, onde o valor médio de t, < t > = τ. Entretanto, j = -n.e < v > = (n.e^2.τ/m) E = σ E, onde σ = 1/ρ é a condutividade. Assim, σ = (n.e^2.τ/m), ou τ = [m/(n.e^2.ρ)]. Uma questão interessante é entender se a resistividade elétrica é dependente da temperatura, ρ = ρ(T). A resposta é positiva, como se esboça na Figura 1. 

Figura 1: Esboço da resistividade (ρ) do cobre e do ouro em função da temperatura. 

Claramente, o valor de ρ varia com a mudança da temperatura.

Os cálculos de τ sugerem que à temperatura ambiente, 10^(-14) s < τ < 10^(-15) s. Tal resultado pode ser considerado razoável? Bem, façamos l = v0.τ, onde l representa o livre caminho médio e v0 pode ser calculado a partir do teorema da equipartição da energia, (1/2)m v0^2 = (3/2) kB.T; daqui obtém-se que v0 ~ 10^5 m/s, implicando um l da ordem de 10 ângstrons. Tal valor é da ordem de grandeza do espaçamento atômico, o que significaria que o modelo de Drude é consistente com o choque dos elétrons com os íons. Entretanto, sabe-se que o v0 é independente da temperatura, além de ser bem maior do que o calculado pelo teorema da equipartição em baixas temperaturas; l deve ser até 10^3 ângstrons ou mais. Desta forma, aparece uma limitação do modelo, indicando que a ideia de choque de elétrons com íons não é perfeitamente correta.

Referência:

[1] Solid State Physics, N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Cengage Learning India, Delhi (2012).